本课题来源于国家自然科学基金项目“具有中心奇点的平面多项式可积系统的极限环分岔和临界周期（编号为11201086）”，属于常微方程领域，研究由希尔伯特十六问题衍生的两个热点问题：平面微分系统的极限环分岔和临界。

    微分系统是研究客观世界变化规律的常用的数学模型，它广泛应用于自然科学和社会科学领域，并深入渗透到其他的数学分支。定性和分岔理论是微分系统的核心内容之一，其思想是在不依赖于求解的前提下研究轨道的性质。研究周期轨的存在性和性质是这方面的一个重难点，著名的Hilbert第16问题后半部分就提议人们研究孤立周期轨（即极限环）的个数和分布。因此对微分系统的极限环和周期单调性的研究，在理论和实际应用中都有重要的意义。

    本课题分四部分：（1）二次可逆系统的中心的极限环分支。具有亏格1中心的平面二次可逆系统共有18类， Lotka-Volterra系统共有6类，它们在二次扰动下产生的极限环的最大个数（环性）是一个公开的问题。课题组以阿贝积分、质心曲线和复方程的解析理论为工具，证明了第四类可逆系统在二次扰动下最多可以分支出2个极限环；以切比雪夫判别法、郎斯基行列式为工具，通过复杂的计算证明了两类Lotka-Volterra中心的环性都是2。这些结果证实了Iliev等人关于二次系统的中心的环性的部分猜测是正确的。课题成果有助于人们了解二次微分系统的极限环的分岔情况。 （2）三次系统的极限环分支。国际上对于二次系统的环性问题已经发展了很多方法并获得丰富结果。但对三次系统，特别是首次积分不是多项式的系统，则尚未有成果发表。课题组研究了一类具有有理首次积分的三次系统在三次扰动下的极限环分支问题。利用Chebyshev 判别法，给出了该系统在多项式扰动下Abel 积分零点个数的上界。重点考虑了两个中心奇点同时扰动出极限环的个数上界，并且证明这一上界是可以实现的。另外还研究了两类具有等时中心的三次系统，证明了在三次多项式扰动下，这两类系统分别可以分支出3个和4个极限环。 在已有文献中，关于三次系统的极限环分支问题所获得的结果不多。上述工作一方面有助于人们进一步了解三次系统的极限环分支情况，另一方面也展示了使用切比雪夫判别法来研究三次系统的环性也是十分有效的。（3）李雅普诺夫常数的并行算法和中心奇点的环性。 确定一个系统的极限环的个数是了解这个系统的定性结构的关键，所以希尔伯特第十六问题提议人们研究给定次数n的多项式系统的极限环的最大个数H(n)。研究极限环个数的一种有效方法是计算中心或焦点的李雅普诺夫常数。目前已经有几个成熟的算法可以在计算机软件如MAPLE，MATLAB上操作。但是，除了少数简单的系统，这些算法也因量大而难以持续计算。在2006年，Christopher证明了在一些情况下，通过计算李雅普诺夫常数关于扰动参数的线性部分就可以确定环性。课题组发现，对于次数较高、扰动参数较多的系统，使用Christopher的方法需要很长的时间来等待计算机产生结果，于是创建了一种并行的算法，并严格证明了它的合理性。为了展示并行算法的优越性，考虑了一类多项式系统的扰动问题，通过并行算法计算了6至13次系统的极限环个数。一方面，它所用的时间只有传统算法时间的1/45，另一方面，还获得H(6)、H(8)、H(10)的下界分别是40、70、108。这是迄今为止最高的下界（之前最高的下界分别是35、67、100）。该成果的最大创新是提出了计算李雅普诺夫量的简便算法。（4）拟齐次平面微分系统的标准型和全局拓扑结构的分类。三次及以下的拟齐次系统的理论成果已经很成熟，课题组用爆破和Poincare紧致化的方法研究了四次拟齐次多项式平面系统的全局拓扑结构，证明了在拓扑等价的意义下，这类系统共有26类全局结构。这个结论实际上已经揭示了四次拟齐次系统的所有的定性性质，可以应用到一些特殊的二维生物模型中。

    所获得的成果，发表时间超过两年，其中11篇发表在国际SCI数学期刊，引起国内外广泛关注。这系列成果在生物学，物理学，社会科学等领域有潜在的应用价值。该系列成果从未用于任何奖励的申报。