1、课题来源：该课题是国家自然科学基金委员会资助的面上项目。本项目主要研究的是非线性离散系统的动力学性质。离散系统在众多领域有重要的应用价值，如计算机科学、信息工程、生物工程、工程控制等，数学模型对应的随机变量绝大部分是离散型，借助离散系统进行的理论研究能更准确地描述其动力学性质。

     2、研究目的与意义：本课题通过建立合适的基本函数空间与变分结构，利用临界点理论、Morse理论以及Conley指标理论等研究非线性离散系统的周期解、边值问题解、同宿轨与异宿轨的存在性及多解性。将所得结论应用于研究离散非线性薛定谔方程，获得了其非线性项在一般超线性、次线性及渐近线性条件下离散孤立子的存在性。利用计算机进行数值模拟，发现了解的相关性态。注重所研究问题间的相互结合，相互渗透，获得拟研究问题的突破。该课题对离散系统在计算机、生物工程、信息工程中的应用具有重要的价值。

    3、主要论点与论据：这部分内容包括以下六个方面：（1）具周期系数离散系统的同宿解。利用临界点理论的环绕定理结合周期逼近技巧，获得了该类差分方程同宿解的存在性。（2）具非周期系数离散系统的离散孤立子。通过建立合适的变分框架和适当的作用空间，利用临界点理论中的山路引理，获得了该类离散非线性薛定谔方程存在离散孤立子的条件；利用喷泉定理、紧嵌入定理等，获得了该类离散非线性薛定谔方程存在无穷多个离散孤立子的条件。（3）耦合离散非线性薛定谔方程的基态解。考虑耦合离散非线性薛定谔方程，与单个的方程比较，这类方程处理起来难度更大。利用Nehari流形方法结合周期逼近技巧，我们获得了具周期系数耦合离散非线性薛定谔方程基态解的存在性。（4））φ-拉普拉斯差分方程的周期解与边值问题。通过建立适当的变分泛函，利用临界点理论和较强的不等式技巧，获得了这类方程周期解与次调和解的存在性与多解性条件。（5）高阶非线性差分方程的周期解与边值问题。我们将该边值问题的解转化为一个非线性泛函的临界点，然后利用临界点理论获得了非线性泛函临界点的存在性，进而获得原边值问题解的存在性。（6）非线性差分方程的正解问题。利用上下解方法、不动点指数理论、Brouwer度理论、Guo-Krasnoselski不动点定理等理论得到了一些离散系统正解的存在唯一性、多重性和全局性等结果。

    4、创见与创新：我们通过建立合适的函数空间和变分结构，利用变分方法研究了非线性离散系统的周期解、边值问题、同宿轨及其相关问题。我们的结果不仅推广了传统的Ambrosetti-Rabinowitz超线性条件，还首次研究了在混合非线性条件下的情况。具有周期系数的耦合离散非线性薛定谔方程，是Gross-Pitaevskii系统的离散化，在理论和实际中都有重要的作用。利用Nehari流形方法结合周期逼近技巧，我们获得了其基态解的存在性。特别重要的是，我们证明了解的两个分量均不为零，这与纯量离散非线性薛定谔方程的情况有本质不同。在考虑一般型的以及特殊型的φ-拉普拉斯差分方程及高阶非线性离散系统的周期解与边值问题时，利用临界点理论来证明这类特殊的φ-拉普拉斯差分方程边值问题解的存在性还是第一次。

    5、社会经济效益、存在的问题：近年来，离散系统的理论得到了较快的发展。一方面是由于离散系统本身的需要；另一方面许多连续动力系统描述的数学模型的性质可借助它的离散系统类似来得到，但连续模型与其相应的离散模型的性质有时存在很大的差异，迫切需要对离散系统进行深入的研究。离散系统的研究内容涉及到稳定性、振动性、边值问题、周期解、共轭与非共轭性等。我们的研究结果推动了上述问题的发展，得到了离散系统的变分结构，借助临界点理论、Nehari流形方法、周期逼近技巧等方法得到了离散系统的离散孤立子的存在性与多重性，基态解的存在性及非线性差分方程正解的存在性、唯一性与多解性。

    6、历年获奖情况：无 。