| 成果名称: | 非线性问题自适应算法 |
| 完成单位: | 中山大学 |
| 主要人员: | 邹青松、曹外香、张庆辉 |
| 介绍: | 自适应算法的研究起始于上世纪七十年代美国工程院院士I.Babuska教授的开创性工作。自那以后，自适应算法在计算科学领域和工程计算领域得到了广泛的应用。比如2001年，三位世界数学家大会邀请报告人A. Cohen，R.Devore和W.Dahmen在线性问题自适应小波算法的理论研究领域取得了重大突破。其后，以美国Maryland大学R.Nochetto教授为首的研究团队在自适应有限元方法的理论研究方面取得了重要的进展。 上述自适应算法理论的重要进展都是针对线性（椭圆形）方程，他们的方法在推广到非线性问题时遇到了本质困难。 本项目研究了两类非线性问题自适应算法：1.非线性问题的小波自适应算法 2. 障碍问题的分层型自适应有限元算法。以下逐一详细介绍。 首先我们来介绍我们所构造的非线性问题自适应小波算法。如上所述，三位著名数学家A. Cohen，R.Devore和W.Dahmen在线性问题自适应小波算法领域做出了突破性的工作。当时他们为了保证所构造的自适应小波算法的最优计算复杂性，他们增加了一个“稀疏化网格步骤”。我们认为，这一步骤的设立是出于理论证明的需要，在实际计算中会极大增加计算量因而并不实用。并且，这一步骤也是阻碍线性问题自适应方法的分析理论推广到非线性问题的一个重要障碍。因此申报人和合作者许跃生教授一起首次提出了“不需要稀疏化网格步骤”的小波自适应算法。但是，没有“稀疏化网格”步骤的自适应算法的理论分析是非常困难的。我们经过过潜心思考，通过研究小波树逼近理论和不同Besov空间的算子变换证明了不需要稀疏化网格步骤的自适应算法也具有最优的计算复杂性。并以此为基础建立了非线性问题小波自适应算法理论体系。应该指出的是，我们在这一领域的工作发表于2003年。2014年，国际著名自适应算法专家Rob Stevenson教授在著名数学期刊“Foundation of Computational Mathematics”从另一角度又重新构造了不需要稀疏化网格步骤的自适应算法，并对我们的2003年工作给予了高度评价。 其次我们介绍障碍问题分层型自适应算法领域的研究工作。障碍问题是一类有广泛应用背景的非线性问题。德国数学家关于障碍问题的快速算法的研究处于世界前列。关于障碍问题自适应算法的研究的一个最大难点是：被广泛使用的残差型误差指示因子或者梯度恢复型误差指示因子在接触区域通常高估实际误差而让相应的自适应算法效率降低。申报人在德国柏林自由大学做洪堡学者期间与合作者R.Kornhuber教授一起构造了分层型后验误差指示因子，证明了所构造的指示因子的可靠性和有效性。并在此基础上构造了具有最优计算复杂性的障碍问题自适应有限元算法。应该指出的是，严格证明障碍问题误差指示因子的可靠性和有效性是一件非常困难的工作。以往虽然以德国洪堡大学C.Carstensen教授为首的研究团队有一些相关工作，但都是针对极端简单的情形如障碍函数为一次多项式的情况。我们的工作针对的是障碍函数是任意连续函数的情形，因而具有一般性，也困难得多。我们是分三步来解决这一问题的:首先我们在饱和性假设情况下证明误差指示因子的可靠性和有效性，其次我们在没有饱和性假设但是有网格正则性假设情形下证明指示因子的可靠性和有效性，最后我们在既没有饱和性假设又没有网格正则性假设情形下证明指示因子的可靠性和有效性。 我们关于障碍问题自适应算法的这些研究成果，既发展了障碍问题快速算法，又发展了分层型了自适应算法理论，是对自适应算法理论的一个重要贡献。我们的成果分别发表于包括Math. Comp. 和Numer. Math.等在内的计算数学优秀期刊, 发表以来得到了学术界的重视。 |
| 批准登记号: | 粤科成登（2）字【2017】0152 |
| 登记日期: | 2017-05-24 |
| 研究起止时间: | 2012.01 至2015.12 |
| 所属行业: | 科学研究和技术服务业 |
| 所属高新技术类别: | |
| 评价单位名称: | 中山大学学术委员会 |
| 评价日期: | 2017.05.18 |
